«Υπάρχει λύση;»

Μικροϊστορίες των επιστημών και της φιλοσοφίας

—του Γιώργου Θεοχάρη—

Niels Henrik Abel
Niels Henrik Abel

Από τα τέλη του 15ου αιώνα οι ανά τον κόσμο μαθηματικοί πάλευαν εις μάτην να λύσουν ένα πρόβλημα: είναι η πεμπτοβάθμια εξίσωση επιλύσιμη με αλγεβρικές μεθόδους; Η δευτεροβάθμια εξίσωση είναι – όλοι έχουμε διδαχθεί τον τύπο επίλυσής της στο σχολείο. Οι τριτοβάθμιες και οι τεταρτοβάθμιες είναι – ήδη από τον 16ο αιώνα υπήρχαν παρόμοιες μέθοδοι για την επίλυση τους. Αλλά η εύρεση μιας αλγεβρικής μεθόδου για την πεμπτοβάθμια εξίσωση αντιστεκόταν σε όσους ασχολήθηκαν (και ήταν πολλοί αυτοί). Μέχρι που ήρθαν δύο από τα λαμπρότερα μαθηματικά μυαλά όλων των εποχών —και σίγουρα οι πιο άτυχοι στην προσωπική τους ζωή— ιδιοφυείς νεαροί, ο Niels Henrik Abel (1802-1829) και ο Évariste Galois (1811-1832), και το πρόβλημα λύθηκε.

Det Kongelige Frederiks Universitet
Βασιλικό Φρειδερίκειο Πανεπιστήμιο
Bernt Michael Holmboe
Bernt Michael Holmboe

Ο Niels Henrik Abel (Νιλς Χένρικ Άμπελ) γεννήθηκε στις 5 Αυγούστου του 1802 στο Nedstrand, ένα μικρό χωριό της Νορβηγίας, σε μια εποχή που η χώρα ήταν κατεστραμμένη μετά από χρόνια πολέμου με τη Σουηδία και την Αγγλία. Πολυμελής και φτωχή η οικογένεια, η πείνα μεγάλη. Ο πατέρας του, θεολόγος και προτεστάντης πάστορας, τον προόριζε για καριέρα στον κλήρο, κυρίως για να του εξασφαλίσει μία ζωή χωρίς την απειλή της μόνιμης ανέχειας, γι’ αυτό τον έγραψε το 1815 σε θρησκευτικό σχολείο στο Όσλο (την τότε Χριστιανία). Ο μικρός Niels παρακολουθούσε τα μαθήματα με μαύρη καρδιά γιατί ήταν ήδη κολλημένος με τα μαθηματικά. Ευτυχώς, για καλή του τύχη (αν και, όπως θα δούμε, η καλή τύχη ήταν των μαθηματικών, όχι του ίδιου), το 1817 ένας νεαρός καθηγητής μαθηματικών ονόματι Bernt Michael Holmboe κατάλαβε ότι ο Abel ήταν προορισμένος να κάνει μαθηματικά και τον ενθάρρυνε να τα σπουδάσει σε πανεπιστημιακό επίπεδο. Άλλο που δεν ήθελε ο μικρός. Δυστυχώς, όμως, το 1820 πέθανε ο πατέρας του και όλα τα οικογενειακά βάρη έπεσαν πάνω του. Τότε, ο καλός εκείνος δάσκαλος, ο Holmboe, του εξασφάλισε υποτροφία για να τελειώσει το σχολείο. Όμως το πανεπιστήμιο ήταν στόχος άπιαστος για τα οικονομικά του Abel. Και πάλι ο Holmboe έκανε το καθήκον του ως μέντορας (αν και νεαρότατος — μόλις 7 χρόνια μεγαλύτερος του μαθητή του): βγήκε στη γύρα και μάζεψε λεφτά από γνωστούς και φίλους για να χρηματοδοτήσει τις σπουδές του μαθητή του. (Κάτι τέτοιοι δάσκαλοι –που υπήρχαν, υπάρχουν και θα υπάρχουν– είναι που κάνουν τη διαφορά.) Και πράγματι, ο Abel σπούδασε μαθηματικά στο Πανεπιστήμιο του Όσλο (τότε ονομαζόταν Det Kongelige Frederiks Universitet Βασιλικό Φρειδερίκειο Πανεπιστήμιο), το παλαιότερο, μεγαλύτερο και πιο φημισμένο εκπαιδευτικό ίδρυμα της Νορβηγίας. Πηγαίνοντας στο πανεπιστήμιο είχε ήδη περισσότερες γνώσεις στα μαθηματικά από τους καθηγητές του, οπότε μπορούσε να επωφεληθεί μόνο από τη βιβλιοθήκη της σχολής. Παράλληλα με το διάβασμα, άρχιζε να ψάχνει τη λύση για το πεμπτοβάθμιο πολυώνυμο, εκείνη που παίδευε τους συναδέλφους του για πάνω από δύο αιώνες. Το 1821 πίστεψε ότι την είχε βρει. Την έδειξε στους δύο καθηγητές του κι εκείνοι δεν βρήκαν σφάλμα. Καθώς όμως το θέμα τούς ξεπερνούσε, έστειλαν την απόδειξη στον Δανό Ferdinand Degen, τον μεγαλύτερο μαθηματικό των σκανδιναβικών χωρών εκείνη την εποχή. Ούτε ο Degen βρήκε σφάλμα, μα δεν μπορούσε να το χωνέψει ότι ένας πιτσιρικάς από το πουθενά της Νορβηγίας είχε βρει τη λύση. Κατάλαβε, βέβαια, ότι το κείμενο ήταν προϊόν ανώτερης διάνοιας, αλλά ζοριζόταν να εγκρίνει τη λύση. Για να κερδίσει χρόνο, ζήτησε από τον Abel να του δώσει αριθμητικά παραδείγματα. Όταν ο Abel ξεκίνησε να κάνει αυτό που του είχε ζητηθεί, ανακάλυψε μόνος του ότι όντως η μέθοδός του είχε ένα αξεπέραστο σφάλμα. Έβαλε το κεφάλι κάτω και ξανάπιασε δουλειά.

Πήρε το πτυχίο του το 1822 – άριστα στα μαθηματικά, μέτρια σε όλα τα άλλα. Ως πτυχιούχος πλέον, ζήτησε υποτροφία να συνεχίσει στη Γερμανία και τη Γαλλία. Δεν του την έδωσαν, αλλά του κάλυψαν τα έξοδα να μείνει στο Όσλο για άλλα δύο χρόνια. Φυσικά, δέχτηκε. Μάλιστα, ο Christopher Hansteen, καθηγητής του στο πανεπιστήμιο, του πρόσφερε τη σοφίτα του σπιτιού του για να μένει και να μελετάει. (Κι άλλος καλός δάσκαλος.) Κάτι σαν τις σημερινές μεταπτυχιακές σπουδές ακούγεται αυτή η διευθέτηση, αλλά δεν ήταν: εδώ δεν είχαν να του μάθουν τίποτα όταν ήταν προπτυχιακός, στο “μεταπτυχιακό” θα τον δίδασκαν; Πάντως τον βοήθησαν οι άνθρωποι, να ’ναι καλά. (Δεν είναι κι εύκολο σεβαστοί πανεπιστημιακοί δάσκαλοι να αναγνωρίζουν την ανωτερότητα φοιτητών τους – ούτε τότε ούτε τώρα. Κι επειδή είναι σπάνιο, όταν συμβαίνει, μένει στην ιστορία.) Σ’ αυτό το διάστημα, έμαθε γερμανικά και γαλλικά, ενώ παράλληλα είχε αρχίσει και τις δημοσιεύσεις. Και πάντα δούλευε πάνω στην πεμπτοβάθμια εξίσωση. Όταν τον ρωτούσαν, «ποια είναι η λύση», απαντούσε σιβυλλικά, «υπάρχει λύση;» Ήξερε ήδη – ήταν θέμα χρόνου να αποδείξει ότι δεν υπήρχε λύση. Το 1824 ολοκλήρωσε και τύπωσε μία μελέτη στα γαλλικά, με τίτλο “Mémoire sur les équations algébriques ou on démontre limpossibilité de la résolution de l’équation générale du cinquième degré” («Υπόμνημα επί των αλγεβρικών εξισώσεων, όπου αποδεικνύεται το αδύνατο της επιλύσεως της γενικής εξισώσεως του πέμπτου βαθμού»). Εκεί μέσα ανέφερε ότι, εκτός από την πεμπτοβάθμια εξίσωση, ούτε και καμία άλλη ανωτέρου βαθμού είχε λύση με αλγεβρικές μεθόδους. Εντούτοις, η καθοριστική αυτή μελέτη πήγε (προς ώρας) αλειτούργητη. Για να ρίξει το κόστος της εκτύπωσης, αναγκάστηκε να κάνει περικοπές έτσι ώστε να βγουν λιγότερες οι σελίδες (6 συνολικά!), γεγονός που κατέστησε το κείμενο δυσνόητο.

carl-f-gauss
Carl Friedrich Gauss

Ο Abel πίστεψε ότι είχε πιάσει την καλή – και με το δίκιο του. Έστειλε ένα αντίτυπο της απόδειξης στον μέγα Carl Friedrich Gauss, στο Πανεπιστήμιο του Göttingen, ελπίζοντας ότι αυτό και μόνο θα αρκούσε για το ξεκίνημα της ακαδημαϊκής καριέρας που ονειρευόταν. Δεν ήταν γραφτό να γίνει. Το αντίτυπο βρέθηκε στη βιβλιοθήκη του Gauss, μετά τον θάνατό του, με άκοπες τις σελίδες. Δεν το είχε καν διαβάσει! Προς υπεράσπιση του μεγάλου Γερμανού, να σημειωθεί ότι λάμβανε αναρίθμητες “αποδείξεις” για ό,τι μπορεί να φανταστεί κανείς από εξίσου αναρίθμητα ψώνια ανά τον κόσμο, και βέβαια δεν καθόταν να διαβάσει τα πάντα, ήταν πρακτικά αδύνατον – όσοι έχουν παρόμοια εμπειρία, ξέρουν ότι στην αρχή έχει πλάκα, αλλά από κάποια στιγμή και πέρα βαριέσαι ακόμα και να γελάσεις. Μόνο που σε αυτή την περίπτωση, αν είχε διαβάσει το έργο του Abel, η ιστορία των μαθηματικών ίσως να είχε γραφτεί αλλιώς. Ο Abel ήταν σίγουρος ότι ο Gauss θα καταλάβαινε την απόδειξη, κι ας έλειπαν πολλά βήματα. Και ήταν σίγουρος, γιατί είχε μελετήσει τον Gauss και ήξερε ότι κι εκείνος έκρυβε βήματα· όχι για να κάνει οικονομία, όπως ο Abel, αλλά γιατί, όπως έλεγε, «όταν οι χτίστες τελειώνουν ένα οικοδόμημα, κατεβάζουν τη σκαλωσιά για αισθητικούς λόγους». Δεν υπάρχει αμφιβολία ότι ο Abel τον ήξερε καλά τον Gauss· είχε πει για τον τρόπο δουλειάς του: «[Ο Gauss] είναι σαν την αλεπού που σβήνει τα ίχνη της στην άμμο με την ουρά της». (Θα μείνουμε με την απορία τι θα γινόταν αν και ο Gauss γνώριζε τον Abel. Κι αν τον καλούσε στο Göttingen και του πρόσφερε διδακτική θέση; Ε, ρε, γλέντια!) Τέλος πάντων, ο Gauss προφανώς δεν απάντησε καν στον Abel. Απογοήτευση νούμερο ένα.

August_Leopold_Crelle
August Leopold Crelle

Το 1825, ο Abel κατάφερε να πάρει άδεια (και λεφτά) για ένα ταξίδι στην Ευρώπη, γράφοντας προσωπικά στον Βασιλιά Carl Johan. Μολονότι ένας από τους όρους της υποτροφίας ήταν να επισκεφθεί τον Gauss, ο Abel, ίσως και πικαρισμένος από την αδιαφορία του κορυφαίου μαθηματικού της εποχής, προτίμησε να πάει πρώτα στο Βερολίνο (γιατί εκεί πήγαιναν κάποιοι φίλοι του από το πανεπιστήμιο), αφήνοντας την επίσκεψη στο Göttingen για αργότερα. (Δεύτερη –και τελευταία– χαμένη ευκαιρία για τη συνάντηση που ίσως να άλλαζε την πορεία των μαθηματικών.) Στο Βερολίνο έμεινε τελικά 4 μήνες. Εκεί γνώρισε τον Γερμανό μαθηματικό August Leopold Crelle, ο οποίος εκείνη την εποχή ετοιμαζόταν να εκδώσει το περιοδικό Journal für die reine und angewandte Mathematik (Περιοδικό για τα καθαρά και τα εφαρμοσμένα μαθηματικά). Το περιοδικό έμελλε να γράψει ιστορία και ο Abel το βοήθησε αρκετά, δημοσιεύοντας 7 άρθρα του εκεί μόνο τον πρώτο χρόνο. Μετά το Βερολίνο, ακολούθησε τους φίλους του στις Άλπεις, και από κει ξεκίνησε μία περιοδεία σε ολόκληρη σχεδόν τη δυτική Ευρώπη, πάντα συναντώντας μαθηματικούς και παράλληλα δουλεύοντας. Για παράδειγμα, στη γερμανική πόλη Φράιμπουργκ δούλεψε πάνω στη θεωρία των συναρτήσεων, αφήνοντας κι εκεί το ιδιοφυές του στίγμα (ελλειπτικές, υπερελλειπτικές και αβελιανές συναρτήσεις). Μετά από μια ντουζίνα ευρωπαϊκές πόλεις, κατέληξε μόνος του στο Παρίσι τον Ιούλιο του 1826. Στο μεταξύ, έστελνε άρθρα (μεταξύ των οποίων και την πλήρη απόδειξη για το πεμπτοβάθμιο πολυώνυμο) στον Crelle, ο οποίος τα δημοσίευε, αλλά το κατά τη γνώμη του καλύτερο το είχε κρατήσει για τη Γαλλική Ακαδημία Επιστημών: ένα θεώρημα για μια γενική ιδιότητα των υπερβατικών συναρτήσεων. Το δούλεψε κι άλλο στο Παρίσι, και τον Οκτώβριο το υπέβαλε για κρίση στην Ακαδημία. Υποτίθεται ότι θα το έκρινε ο σπουδαίος Γάλλος μαθηματικός AugustinLouis Cauchy, πρωτοπόρος στη μαθηματική ανάλυση, αλλά ιδιόρρυθμος χαρακτήρας. Το κείμενο παράπεσε, χάθηκε. Σιωπή. Τζίφος και στο Παρίσι. Απογοήτευση νούμερο δύο. Σύμφωνα με τον ίδιο τον Abel, «ο Cauchy είναι τρελός και κανείς δεν μπορεί να κάνει τίποτα γι’ αυτό· δυστυχώς, όμως, είναι ο μόνος που ξέρει πώς να αντιμετωπίζει κανείς τα μαθηματικά». Αρκεί να μην χάνει τις προς κρίση εργασίες, πρέπει να προσθέσουμε. Ο Abel ήταν άγνωστος στο Παρίσι και λόγω χαρακτήρα δεν ήταν καλός στο να πλασάρει τον εαυτό του και να πιέζει καταστάσεις. Με αυτά τα μυαλά, το θεώρημα έμεινε σε κάποιο ράφι, αλειτούργητο κι αυτό. Δημοσιεύτηκε αρκετά μετά τον θάνατό του, το 1841, και αποτελεί μνημείο των σύγχρονων μαθηματικών. Εντέλει, τα λεφτά κάποτε τέλειωσαν και ο Abel αναγκάστηκε να γυρίσει στη Νορβηγία.

Journal für die reine und angewandte Mathematik
Journal für die reine und angewandte Mathematik

Στο μεταξύ, είχαν συμβεί δύο πράγματα. Πρώτον, η απόδειξη για την πεμπτοβάθμια είχε κερδίσει την προσοχή των μαθηματικών, αλλά και ουκ ολίγων παρεπιδημούντων παλαβών. Δεύτερον, ο Abel είχε κολλήσει φυματίωση στο Παρίσι. Δίδαξε για λίγο στο Πανεπιστήμιο του Όσλο, αλλά δεν ήταν καλά, ούτε σωματικά ούτε ψυχικά. Συνέχισε να στέλνει άρθρα στον Crelle. Είχε αρχίσει να γίνεται γνωστός, αλλά ποτέ δεν το συνειδητοποίησε. Τα Χριστούγεννα του 1828 πήγε με έλκηθρο να επισκεφτεί τη μνηστή του στο Froland. (Φυματικός. Με έλκηθρο. Χειμωνιάτικα. Στη Νορβηγία. Τι να πει κανείς; Έχουν ακουστεί και αυτοκτονίες χειρότερα σχεδιασμένες.) Η κατάστασή του επιδεινώθηκε δραματικά. Πέθανε, πριν κλείσει τα 29 του χρόνια, στις 6 Απριλίου του 1829, εκεί, στο Froland, όπου και είναι θαμμένος. Δύο μέρες αργότερα έφτασε γράμμα από τον Crelle, με το οποίο πληροφορούσε τον Abel ότι του είχε εξασφαλίσει θέση καθηγητή στο Πανεπιστήμιο του Βερολίνου. Ο καλός του φίλος δεν είχε σταματήσει τις προσπάθειες να του βρει μια θέση κάπου. Άργησε δύο μέρες. Δηλαδή, άργησε δύο μέρες για να του δώσει μια κάποια χαρά του δύστυχου Abel, όχι ότι θα άλλαζε κάτι. Άμα δε σε θέλει…

Froland
Froland

[Στο επόμενο, η ιστορία του έτερου των μεγάλων άτυχων, του Évariste Galois.]

* * *

Εδώ άλλες αναρτήσεις από τη στήλη Μικροϊστορίες των επιστημών και της φιλοσοφίας

Το dim/art στο facebook

Το dim/art στο twitter

 

3 comments

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.