«Δεν έχω χρόνο· δεν έχω χρόνο!»

Μικροϊστορίες των επιστημών και της φιλοσοφίας

—του Γιώργου Θεοχάρη—

Στο προηγούμενο επεισόδιο λέγαμε για τον άτυχο Νορβηγό μαθηματικό Niels Abel (1802-1829). Σειρά έχει ένας άλλος μαθηματικός, εξίσου άτυχος και ιδιοφυής, ο Γάλλος Évariste Galois (1811-1832). Οι δυο τους, παρότι σύγχρονοι, δεν συναντήθηκαν ποτέ, αλλά οι ζωές και το έργο τους τέμνονται μέσα από μια σειρά συμπτώσεων.

Évariste Galois
Évariste Galois

Ο Évariste Galois (Εβαρίστ Γκαλουά) γεννήθηκε στις 25 Οκτωβρίου του 1811, στο BourglaReine. Ο πατέρας του ήταν δημοκρατικός, στέλεχος του Φιλελεύθερου Κόμματος, και από το 1814 δήμαρχος του χωριού. Η μητέρα του ήξερε λατινικά και διάβαζε τους κλασικούς στο πρωτότυπο. Αυτή ήταν η πρώτη του δασκάλα.

Το 1823, ο μικρός Évariste έγινε δεκτός με υποτροφία στο Lycée LouisleGrand, δημόσιο σχολείο της δεύτερης βαθμίδας στο Παρίσι. Στα πρώτα δύο χρόνια τα πήγαινε τόσο καλά που τον προώθησαν στην τάξη της ρητορικής, την οποία παρακολουθούσαν οι καλύτεροι μαθητές. Και τότε διάβασε τα Στοιχεία Γεωμετρίας του AdrienMarie Legendre (του Γάλλου μαθηματικού που είχε πει για τον Abel «τι μυαλό έχει αυτός ο νεαρός Νορβηγός – πρώτη σύμπτωση) και ερωτεύτηκε τα μαθηματικά. Πάει η ρητορική.

Έπεσε με τα μούτρα στο διάβασμα, ρούφηξε τα βιβλία του JosephLouis Lagrange και, φύσει παρορμητικός, αποφάσισε να δώσει εισαγωγικές εξετάσεις στην École polytechnique. Έφαγε τα μούτρα του γιατί δεν είχε προετοιμαστεί για τέτοιες εξετάσεις. Οι εξεταστές δεν τον κατάλαβαν. Επέστρεψε με βαριά καρδιά στο LouisleGrand, αλλά δεν είχε μυαλό παρά μόνο για μαθηματικά. Σύμφωνα με τον καθηγητή του των μαθηματικών Vernier, «Τον έχει καταλάβει ένα απέραντο πάθος για τα μαθηματικά. Νομίζω θα ήταν καλύτερο, αν συμφωνούν οι γονείς του, να σπουδάσει μόνο αυτή την επιστήμη: ως σπουδαστής στην τάξη της ρητορικής σπαταλά τον χρόνο του, ενοχλεί τους καθηγητές και επισύρει την οργή και τιμωρίες.» Είχε αρχίσει να σπάει νεύρα στο σχολείο. Εντωμεταξύ, συνεχίζοντας την οικογενειακή δημοκρατική παράδοση, αναμείχθηκε και στην πολιτική με πάθος. Για να γλιτώσουν απ’ αυτόν, η διοίκηση του επέτρεψε να κάνει μόνο μαθηματικά, με τον LouisPaul Richard, σύμφωνα με τον οποίο, «Ο Galois ασχολείται μονάχα με θέματα ανώτερων μαθηματικών». Στην εφηβεία του αυτά. Κάπου εκεί διάβασε ό,τι βρήκε από τα άρθρα του Abel και εντυπωσιάστηκε (δεύτερη σύμπτωση).

Augustin-Louis_Cauchy
Augustin-Louis Cauchy

Το 1829, στα 18 του, δημοσίευσε την πρώτη του εργασία (περί των συνεχών κλασμάτων) και την υπέβαλε, μαζί με κάποιες άλλες, στην Académie des sciences για κρίση. Ο μέγας (αλλά ιδιόρρυθμος) AugustinLouis Cauchy υποσχέθηκε να τις παρουσιάσει, αλλά το ξέχασε. Κι από πάνω, έχασε και τα χειρόγραφα! (Ήταν ο ίδιος αυτός Cauchy που είχε χάσει και το χειρόγραφο του Abel με το θεώρημα για μια γενική ιδιότητα των υπερβατικών συναρτήσεων – τρίτη σύμπτωση.) Ο Évariste, όχι ο ευκολότερος χαρακτήρας στον κόσμο, είχε ήδη αρχίσει να τα παίρνει χοντρά.

Το καλοκαίρι της ίδιας χρονιάς, καθώς προετοιμάζεται για να ξαναδώσει στην École polytechnique, ο πατέρας του, μην αντέχοντας τις πιέσεις του τοπικού κλήρου και το κυνήγι των Ιησουιτών, αυτοκτόνησε. Μεγάλο το πλήγμα για τον νεαρό. Λίγες βδομάδες αργότερα, πήγε να δώσει τις ίδιες εισαγωγικές εξετάσεις για δεύτερη φορά. Απέτυχε και πάλι. Αυτή τη φορά όχι επειδή δεν ήταν προετοιμασμένος, αλλά επειδή οι εξεταστές του δεν καταλάβαιναν τι τους έλεγε· εκείνοι περίμεναν έναν τυπικό επίδοξο προπτυχιακό φοιτητή, κι εκείνος τους έδειχνε μαθηματικά που τους ξεπερνούσαν. (Αθλητική αναλογία: εκείνοι τον ρωτούσαν να τους πει πόσο διαρκεί μία επίθεση στο μπάσκετ, κι εκείνος τους απαντούσε πώς αντιμετωπίζεται η τριγωνική επίθεση. Μιλούσαν διαφορετικές γλώσσες.) Ο μικρός τούς είχε βάλει δύσκολα κι εκείνοι προσπάθησαν να ξεφύγουν από τη διάνοιά του προτάσσοντας τον σχολαστικισμό τους (αγαπημένη τακτική του ακαδημαϊκού ιερατείου – διαχρονικά). Ο Galois απασφάλισε κατά τη διάρκεια της προφορικής εξέτασης. Αργότερα είπε ότι του την έδωσε που οι εξεταστές διέκοπταν τις απαντήσεις του γελώντας σαν τρελοί. Κάποια στιγμή δεν άντεξε, πέταξε το σφουγγάρι στα μούτρα ενός εξεταστή και σηκώθηκε κι έφυγε.

Ancienne école Polytechnique
Ancienne école polytechnique

Οι ακαδημαϊκοί τον είχαν απογοητεύσει, αλλά εκείνος συνέχισε να παράγει ανώτερα μαθηματικά. Στο μυαλό του, όσοι είχαν εξουσία (είτε μαθηματικοί είτε πολιτικοί) ήθελαν κρέμασμα. Παράλληλα, μπήκε ακόμα πιο βαθιά στην πολιτική, φανατικά στο πλευρό των αντιβασιλικών. (Μοιραία επιλογή: λάθος εποχή να είσαι αντιβασιλικός στη Γαλλία της δεύτερης δεκαετίας του 19ου αιώνα.)

Joseph Fourier
Joseph Fourier

Στις αρχές 1830 ολοκλήρωσε άλλες τρεις εργασίες και τις υπέβαλε πάλι για κρίση στην Académie des sciences, στο πλαίσιο του διαγωνισμού για το Μεγάλο Βραβείο των Μαθηματικών. (Το δις εξαμαρτείν ουκ Évariste σοφού.) Αυτή τη φορά, ήταν ο σπουδαίος μαθηματικός Joseph Fourier, τότε γραμματέας της Ακαδημίας Επιστημών, που υποσχέθηκε να τις διαβάσει. Αλλά δεν πρόλαβε: πέθανε τον Μάιο. Και το κερασάκι: τα χειρόγραφα του Galois δεν βρέθηκαν στο γραφείο του Fourier. Είχαν εξαφανιστεί. Πάλι!

Πόσα να αντέξει ο άνθρωπος; Και όμως, ξαναπροσπάθησε. Έκατσε και ξανάγραψε την εργασία που δεν πρόλαβε να δει ο Fourier και την υπέβαλε ξανά για κρίση στην Ακαδημία. Κριτές αυτή τη φορά οι Lacroix και Poisson. Μετά από αφύσικα μεγάλο χρονικό διάστημα, ο Galois έμαθε ότι το χειρόγραφό του είχε απορριφθεί. (Πάλι καλά που δεν χάθηκε ξανά. Ήταν κι αυτή μια πρόοδος.) Στο σκεπτικό της απόρριψης, ο Lacroix σημείωνε: «Η απόδειξη δεν ήταν ούτε αρκετά καθαρή ούτε αρκετά αναπτυγμένη ώστε να μας επιτρέψει να κρίνουμε την ακρίβειά της». Ο Galois είχε το ελάττωμα (ή το προτέρημα, κατά Gauss) να μην αναπτύσσει λεπτομερώς κάποια ενδιάμεσα βήματα, κατά την κρίση του βαρετά ή/και αυτονόητα. (Επειδή οι ιδιοφυείς άνθρωποι βρίσκονται κατά κανόνα στον κόσμο τους, απαιτείται μία ιδιαίτερη δεξιότητα από μέρους του περίγυρου προκειμένου οι χαρισματικοί να παραμείνουν στον κόσμο τους και να δημιουργούν απερίσπαστοι. Αυτή η δεξιότητα γενικά δεν ευδοκιμεί στην ακαδημαϊκή κοινότητα.) Τέλος πάντων, ο Galois κατάλαβε ότι δεν πρόκειται να βγάλει άκρη με την ακαδημαϊκή μούχλα και τα παράτησε. Όχι τα μαθηματικά – τις προσπάθειες να αναγνωριστεί το έργο του. Τα μαθηματικά τα συνέχισε, περισσότερο στο μυαλό του παρά στο χαρτί, γιατί εντωμεταξύ του συνέβησαν διάφορα. Το 1831 τον συνέλαβαν δύο φορές. Την πρώτη τον Μάιο, για συνωμοσία δολοφονίας του βασιλιά LouisPhilippe I. Τι είχε συμβεί; Ο Galois ανήκε σε μια μονάδα πυροβολικού της Εθνοφρουράς που ήταν γνωστή, ως σύνολο, για τα αντιβασιλικά της φρονήματα. Ο βασιλιάς καλού-κακού διέλυσε τη μονάδα και πέρασε από δίκη 19 αξιωματικούς της. Οι ανυπόστατες κατηγορίες κατέπεσαν στο δικαστήριο. Η συγκέντρωση που οργανώθηκε για να εορταστεί το γεγονός εξελίχθηκε σε οιονεί εξέγερση. Την επομένη, συνέλαβαν τον Galois επειδή στη συγκέντρωση, λέει, έκανε πρόποση στο όνομα του βασιλιά, έχοντας τοποθετήσει ένα μαχαίρι πάνω στην κούπα του. Άρα; Σχεδίαζε να τον σκοτώσει! Το δικαστήριο τον αθώωσε από την αστεία κατηγορία.

653px-Révolution_de_1830_-_Combat_devant_l'hôtel_de_ville_-_28.07.1830Όμως, τη δεύτερη φορά δεν τη γλίτωσε τη φυλακή. Τον Ιούλιο ο Galois πήρε μέρος σε μια αντιβασιλική διαδήλωση, πρώτος-πρώτος, φορώντας τη στολή του γνωστού (και διαλυμένου) τάγματος πυροβολικού, πράγμα το οποίο απαγορευόταν. Εκτός αυτού, ήταν οπλισμένος σαν αστακός, με διάφορα πιστόλια, τουφέκι και μαχαίρι. Ευκαιρία ζητούσαν οι βασιλικοί, που έτσι κι αλλιώς συλλάμβαναν τους αντιφρονούντες προληπτικά για να αποτρέψουν μία ενδεχόμενη εξέγερσή τους: νέα σύλληψη του Galois. Και ποινή φυλάκισης έξι μηνών. Στη φυλακή δεν κάθισε με σταυρωμένα χέρια: έκανε μαθηματικά. Ίσως και τα περισσότερα της (σύντομης) ζωής του γιατί δεν είχε και τι άλλο να κάνει.

Παραθέτω έναν αδημοσίευτο πρόλογο γραμμένο από τον ίδιο τον Galois το 1832 (στη φυλακή ή αμέσως μετά την αποφυλάκισή του) γιατί, εκτός της ιστορικής του αξίας (και μιας ανεκτίμητης συναδελφικής αναφοράς στον Abel), παρουσιάζει ανάγλυφα το πώς αισθανόταν ο εικοσάχρονος μαθηματικός για όλα όσα είχαν προηγηθεί:

Πρώτα απ’ όλα, η προμετωπίδα αυτού του πονήματος δεν βαρύνεται με ονόματα, ιδιότητες, τίτλους και ελεγείες, με σκοπό να ευαρεστηθεί κάποιος άθλιος πρίγκιπας να ανοίξει το πορτοφόλι του – με τη συνεχή απειλή να το ξανακλείσει μόλις σταματήσει ο λιβανωτός. Δεν θα δείτε γραμμένη με χαρακτήρες τρεις φορές μεγαλύτερους απ’ το κείμενο την ταπεινή εκδήλωση σεβασμού προς κάποιο πρόσωπο υψηλά ιστάμενο στην επιστημονική ιεραρχία, κάποιο σοφό προστάτη – κάτι απαραίτητο (αναπόφευκτο θα έλεγα) για έναν εικοσάχρονο νεαρό που επιθυμεί να γράφει. Δεν λέω σε κανέναν ότι οφείλω στις συμβουλές και στις παροτρύνσεις του όλα τα καλά που περιέχει η εργασία μου. Δεν το λέω, γιατί θα ήταν ψέμα. Αν θα ήθελα να απευθύνω τον λόγο στους μεγάλους του κόσμου, ή τους μεγάλους της επιστήμης (στην εποχή μας η διαφορά μεταξύ αυτών των δύο τάξεων ανθρώπων είναι μάλλον ανεπαίσθητη), ασφαλώς δεν θα ήταν για να τους ευχαριστήσω. Στους μεν οφείλεται το ότι δημοσίευσα την πρώτη από αυτές τις εργασίες τόσο καθυστερημένα, στους δε ότι την έγραψα στη φυλακή, ένα μέρος εντελώς ακατάλληλο για διανοητική εργασία, και θαυμάζω τον εαυτό μου για την αυτοσυγκράτηση που έδειξε κρατώντας το στόμα του κλειστό μπροστά στην κακεντρέχεια των ηλιθίων και αδαών· ελπίζω η λέξη “αδαείς” να μην θεωρηθεί ιδιαίτερα απρεπής, δεδομένου ότι οι αντίπαλοί μου είναι κατ’ εμέ αναξιοπρεπείς. Δεν είναι του παρόντος να αναφερθώ στους λόγους, για τους οποίους βρέθηκα στη φυλακή, αλλά πρέπει οπωσδήποτε να πω ότι τα χειρόγραφά μου χάθηκαν επανειλημμένως απ’ τα συρτάρια των αξιότιμων μελών του Ινστιτούτου, αν και ειλικρινά δεν μπορεί να χωρέσει στο μυαλό μου μια τέτοια επίδειξη απερισκεψίας εκ μέρους εκείνων που έχουν στη συνείδησή τους τον θάνατο του Άμπελ. Όσο για μένα, που είμαι εντελώς ασήμαντος σε σύγκριση μ’ εκείνον τον έξοχο μαθηματικό, αρκεί να πω ότι η θεωρία μου για τις εξισώσεις κατατέθηκε σε χειρόγραφο στην Ακαδημία Επιστημών τον Φεβρουάριο του 1830, ότι αποσπάσματά της είχαν ήδη σταλεί το 1829, ότι δεν έγινε καμία αναφορά σε αυτήν και ότι κατέστη αδύνατον να βρεθεί το χειρόγραφο.i

Εντούτοις, όταν αποφυλακίστηκε, ήταν ψυχικά καταρρακωμένος. Ούτε στα μαθηματικά ούτε στην πολιτική πήγαιναν τα πράγματα όπως επιθυμούσε. Και σαν μην έφταναν όλα αυτά, πήγε κι ερωτεύτηκε από πάνω! Μα ούτε και στον έρωτα βρήκε γιατρειά. Δεν είναι γνωστές οι λεπτομέρειες των θλιβερών περιστατικών που οδήγησαν στον πρόωρο θάνατό του, συνεπώς θα αρκεστούμε σε ενδείξεις, εικασίες και αντικρουόμενες μαρτυρίες.

Φαίνεται πώς ο Galois ερωτεύτηκε μία δεσποσύνη ονόματι StéphanieFélicie Poterin du Motel. Ήταν κόρη ενός γιατρού, η οικογένεια του οποίου έμενε στην ίδια πανσιόν όπου πέρασε και ο Galois τους τελευταίους μήνες της ζωής του. Στην αλληλογραφία του προς φίλους δεν αναφέρει το όνομα της νεαρής (από τακτ, τρομάρα του) κι έτσι δεν είναι σίγουρο ότι πρόκειται για την Stéphanie. Όποια κι αν ήταν η αξιέραστος κόρη, το βέβαιο είναι ότι ο νεαρός είχε δαγκώσει τη λαμαρίνα μαζί με το ελενίτ. Από κάτι υπαινιγμούς στην αλληλογραφία του, προκύπτει ότι η περί ης ο λόγος τού είχε εκμυστηρευτεί κάποια μυστικά της, γεγονός που κάποιος άλλος έκρινε ως λόγο ικανό να καλέσει στις 29 Μαΐου του 1832 τον Galois σε μονομαχία την επόμενη μέρα. Ποιος ήταν αυτός ο άλλος; Κατά μία εκδοχή (οφειλόμενη στον Alexandre Dumas) ήταν κάποιος Pescheux dHerbinville, μνηστήρας της Stéphanie. Κατά μία άλλη εκδοχή, ήταν κάποιος πολιτικός του συνοδοιπόρος, ίσως ο Ernest Duchatelet, με τον οποίο έκανε μαζί στη φυλακή, εκτίοντας την ίδια ποινή και για τις ίδιες κατηγορίες.

Όποιος κι αν ήταν ο εγκαλών, ο λόγος της μονομαχίας ήταν γυναικοδουλειά (cherche la femme, που λένε και οι Γάλλοι, κάτοχοι των πνευματικών δικαιωμάτων περί τα τοιαύτα): ο Galois έγραψε σε ένα από τα γράμματα της προτελευταίας του νύχτας: «Πεθαίνω και γι’ αυτό φταίει μια άθλια πόρνη. Η ζωή μου θα τελειώσει σε μία απαίσια μονομαχία». Το σκοτεινό αντικείμενο του πόθου ενίοτε αποδεικνύεται σκοτεινό υποκείμενο. (Και τότε δεν σε σώζουν ούτε όλα τα μαθηματικά τού κόσμου).

Στις 30 Μαΐου του 1832, λίγο μετά τα χαράματα, οι δύο μονομάχοι συναντήθηκαν στο προκαθορισμένο μέρος. Διάλεξαν πιστόλια και στάθηκαν αντιμέτωποι σε απόσταση 25 βημάτων. Ο Galois χτυπήθηκε στην κοιλιά. Πέθανε στο νοσοκομείο το μεσημέρι της επόμενης μέρας, 31 Μαΐου, από οξεία περιτονίτιδα. Ήταν 20 χρονών. Τα τελευταία του λόγια ήταν προς τον Alfred, τον νεαρότερο αδερφό του: “Ne pleure pas, Alfred! J’ai besoin de tout mon courage pour mourir à vingt ans”. («Μην κλαις, Alfred! Χρειάζομαι όλο μου το κουράγιο για να πεθάνω είκοσι χρονών».)

Duel_pistoletΤη νύχτα πριν τη μοιραία μονομαχία, ο Galois δεν κοιμήθηκε· την πέρασε γράφοντας γράμματα στους φίλους του. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει το γράμμα προς τον καλύτερό του φίλο, τον Auguste Chevalier, κι αυτό γιατί περιέχει το διασημότερο έργο του Galois στα μαθηματικά: τις βασικές κατευθύνσεις της θεωρίας που σήμερα είναι γνωστή ως Θεωρία Γκαλουά. Επειδή ήθελε να προλάβει να τελειώσει πριν ξημερώσει, παρέλειπε πολλά βήματα της ανάλυσής του, τα οποία συμπλήρωσαν με τα χρόνια άλλοι μαθηματικοί. Άφηνε επίσης οδηγίες στον Chevalier να δώσει το χειρόγραφο είτε στον Jacobi είτε στον Gauss. Στα περιθώρια του χειρόγραφου είχε γράψει πολλές φορές: «δεν έχω χρόνο· δεν έχω χρόνο». Η συγκλονιστικότερη πνευματική διαθήκη στην ιστορία των μαθηματικών.

Άτυχος ο Évariste Galois. Ενδεχομένως και παλιοχαρακτήρας, αλλά αυτό δεν μειώνει ούτε τη διάνοια ούτε τη συνεισφορά του. Άλλωστε, ούτε και ο Niels Abel, που ήταν παιδί-μάλαμα, είδε χαΐρι και προκοπή, όπως ίσως θυμάστε. Αναρωτιέται κανείς τι έχασαν τα μαθηματικά από τον πρόωρο χαμό αυτών των δύο. Τιμώντας τούς εν αγνοία τους Διόσκουρους, θα κλείσω με μια αναφορά στο πεμπτοβάθμιο πολυώνυμο, μια σελίδα των μαθηματικών όπου το έργο τους τέμνεται και αλληλοσυμπληρώνεται.

Ο Abel είχε αποδείξει ότι οποιοδήποτε πολυώνυμο με βαθμό μεγαλύτερο του τετάρτου δεν μπορεί να επιλυθεί με ριζικά οποιασδήποτε τάξης. Γενικά μιλώντας, έτσι είναι τα πράγματα. Ωστόσο κάποιες συγκεκριμένες ειδικές περιπτώσεις μπορούν να επιλυθούν. Η μέθοδος της επίλυσης (δηλαδή, οι ορισμένες προϋποθέσεις) βρέθηκε από τον Galois. Μια γενική μέθοδος που έκλεινε το θέμα. Η εύρεσή της, βέβαια, δεν έγινε εν κενώ: είχε προηγηθεί η δουλειά των Lagrange και Cauchy, και ασφαλώς του Abel. Αλλά ήταν ο Galois αυτός που έβαλε τελεία και παύλα στο ζήτημα. Ο Joseph Liouville, όταν δημοσίευσε μεγάλος μέρος της δουλειάς του Galois στο Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (Περιοδικό για τα Καθαρά και τα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά) το 1846, σημείωσε ότι ο Galois είχε αποδείξει «το υπέροχο θεώρημα ότι για να είναι επιλύσιμη με ριζικά μια ανάγωγη εξίσωση που ο βαθμός της είναι πρώτος αριθμός, αναγκαία και ικανή συνθήκη είναι όλες οι ρίζες να είναι ρητές συναρτήσεις οποιωνδήποτε δύο από αυτά». Κάτι τέτοιο είναι αδύνατον για την πεμπτοβάθμια εξίσωση, συνεπώς αυτή δεν επιλύεται με ριζικά. QED.

O Abel ευχαριστεί και ο Galois ανταποδίδει.

This is the last page of letter from Évariste Galois, French mathematician, to his friend Auguste Chevalier. Galois wrote this on the night before the duel to death.
Η τελευταία σελίδα του περίφημου γράμματος του Galois προς τον Chevalier.

* * *

i Richard Mankiewicz, Η Ιστορία των Μαθηματικών, μετάφραση: Λεωνίδας Καρατζάς, Αλεξάνδρεια, χ.χ., σ. 124.

Περαιτέρω αναγνώσματα:

  • Tom Petsinis, Ο Γάλλος Μαθηματικός, μετάφραση: Έλενα Πισσία, Τραυλός, 2004.

  • Ian Stewart, Ο Γκαλουά και το Κλειδί της Συμμετρίας, μετάφραση: Ευθυμία Χασιώτου, Τραυλός, 2007.

 

* * *

Εδώ άλλες αναρτήσεις από τη στήλη Μικροϊστορίες των επιστημών και της φιλοσοφίας

Το dim/art στο facebook

Το dim/art στο twitter

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s